\subsection{圆的切线的作法，切线长定理}\label{subsec:czjh2-7-9}

根据切线的判定定理，可以得到经过一个已知点作已知圆的切线的方法。
分已知点在圆上与圆外两种情况说明如下：

（1）已知：$\yuan\,O$ 及 $\yuan\,O$ 上的一点 $P$ （图 \ref{fig:czjh2-7-37}）。

求作：经过点 $P$ 的 $\yuan\,O$ 的切线。

\zuofa 1. 连结 $OP$。

2. 经过点 $P$ 作 $BC \perp OP$。

直线 $BC$ 就是所求的切线。

由作法可以知道，经过 $\yuan\,O$ 上的一点 $P$，
可以作出并且只可以作出一条 $\yuan\,O$ 的切线。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-37}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-37}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-38}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-38}
    \end{minipage}
\end{figure}

（2）已知： $\yuan\,O$ 及 $\yuan\,O$ 外的一点 $P$（图 \ref{fig:czjh2-7-38}）。

求作：经过点 $P$ 的 $\yuan\,O$ 的切线。

分析： 设 $PA$ 是经过点 $P$ 和 $\yuan\,O$ 相切于点 $A$ 的直线，由切线的性质定理，
可知 $OA \perp AP$， 点 $A$ 必在以 $OP$ 为直径的圆上。

\zuofa 1. 连结 $OP$。

2. 以 $OP$ 为直径作 $\yuan\,C$， $\yuan\,C$ 和 $\yuan\,O$ 相交干两点 $A$、$B$。

3. 作直线 $PA$、$PB$。

直线 $PA$、$PB$ 就是所求的切线。

\zhengming 连结 $OA$、$OB$。

$\because$ \quad $OP$ 是 $\yuan\,C$ 的直径，

$\therefore$ \quad $\angle OAP$、$\angle OBP$ 都是直角。

因此， $PA$、$PB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。

由作法可以知道， 经过 $\yuan\,O$ 外的一点 $P$， 可以作出 $\yuan\,O$ 的两条切线。

在经过圆外一点的切线上， 这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的\zhongdian{切线长}。

在图 \ref{fig:czjh2-7-38} 中，

$\because$ \quad $OA = OB$， $OP = OP$，

$\therefore$ \quad $Rt \triangle AOP \quandeng Rt \triangle BOP$。

$\therefore$ \quad $PA = PB$， $\angle OPA = \angle OPB$。

由此得到下面的定理：

\begin{dingli}[切线长定理]
    从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
\end{dingli}



\begin{lianxi}

\xiaoti{作已知圆的切线，使它：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{和一条已知直线平行；}

    \xxt{和一条已知直线垂直。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知： $\yuan\,O$ 的半径为 3 厘米， 点 $P$ 和圆心 $O$ 的距离为 6 厘米。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{经在点 $P$ 作 $\yuan\,O$ 的切线；}

    \xxt{求两条切线的夹角及切线长。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{$PA$ 和 $PB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线， $A$ 和 $B$ 是切点。
    求证： $OP$ 垂直平分弦 $AB$。
}

\end{lianxi}

